Родился 22 мая 1913 года в Санкт-Петербурге. В школьные годы занимался у знаменитого композитора Александра Глазунова. Свое первое произведение (вальс) написал в возрасте восьми лет. Когда ему исполнилось пятнадцать, в Ленинградском театре музыкальной комедии состоялась премьера написанной им оперетты "Ночь перед Рождеством". В 1930 году поступил Ленинградскую консерваторию по классу композиции, которую окончил экстерном в 1934 году.
С 1937 года работал в кино. Его первым фильмом стала картина "Дети капитана Гранта" режиссера Владимира Вайнштока. Впоследствии создал музыку к более чем пятидесяти художественным фильмам, в том числе "Таинственный остров" (1941, реж. Эдуард Пенцлин), "Александр Прахоменко" (1942, реж. Леонид Луков), "Два бойца" (1943, реж. Леонид Луков), "Пятнадцатилетний капитан" (1945, реж. Василий Журавлев), "Безумный день" (1956, реж. Андрей Тутышкин), "Разные судьбы" (1956, реж. Леонид Луков), "Олеко Дундич" (1958, реж. Леонид Луков), "Пес Барбос и необычайный кросс", "Самогонщики" (1961, реж. Леонид Гайдай), "Ехали в трамвае Ильф и Петров" (1971, Виктор Титов), "Всадник без головы" (1972, реж. Владимир Вайншток).
Никита Богословский также работал и в мультипликации: "Кот в сапогах" (1938, реж. Зинаида Брумберг, Валентина Брумберг), "Бармалей" (1941, реж. Владимир Полоквников, Леонид Амальрик), "Кораблик" (1956, реж. Леонид Амальрик), "Кошкин дом" (1958, реж. Леонид Амальрик), "Дюймовочка" (1964, реж. Леонид Амальрик), "Мой зеленый крокодил" (1966, реж. Вадим Курчевский), "Скамейка" (1967, реж. Лев Атаманов), "Следствие ведут колобки. фильм 1" (1983, реж. Аида Зябликова). Всего же его музыка звучит в 49 мультфильмах.
Среди почти 200 песен, написанных композитором, ставшие популярными "Темная ночь", "Любимый город", "Шаланды", "Спят курганы темные", "Старый извозчик", "Звезда моих полей", "Аленушка". Перу Никиты Богословского принадлежат 8 симфоний, балет "Королевство кривых зеркал", музыка к 52 драматическим спектаклям, радиопостановкам, 17 оперетт и музыкальных комедий, музыкальные драмы по Александру Блоку "Незнакомка" и "Соль", два струнных квартета. Работал на радио и телевидении, вел авторские передачи, как дирижер выступал в России и за рубежом, опубликовал несколько книг: "Музей муз" (1968), "Тысяча мелочей" (1973), "Очевидное, но вероятное" (1981), "Интересное кино" (1990), "Заметки на полях шляпы и кое-что еще" (1997), "Что было и чего не было и кое-что еще" (1999).
С 1976 по 1980 год был членом правления Союза композиторов СССР, с 1981 по 1985 год - членом правления Союза кинематографистов СССР, с 1974 года - Почетный президент Ассоциации друзей Франции. Был награжден орденами Красной Звезды (1946), Трудового Красного Знамени (1971), французским орденом "За артистическую деятельность" (1978), болгарским орденом "Кирилл и Мефодий I степени" (1986), "За заслуги перед Отечеством IV степени" (1998), 17 военными и гражданскими медалями. Заслуженный деятель искусств РСФСР (1968), Народный артист РСФСР (1978), Народный артист СССР (1983). Скончался 4 апреля 2004 года. Похоронен в Москве на Новодевичьем кладбище.